Алгебра над кольцом

Эта статья — о модуле, снабженном произведением. Об алгебраических системах с пустым множеством отношений см. Алгебра (универсальная алгебра); о разделе математики см. Алгебра.

Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

Определения

Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль [math]\displaystyle{ A }[/math] над кольцом [math]\displaystyle{ K }[/math], в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом [math]\displaystyle{ K }[/math]) [math]\displaystyle{ f\colon A\times A\rightarrow A }[/math] определено произведение согласно равенству [math]\displaystyle{ ab=f(a,b) }[/math], называется алгеброй над [math]\displaystyle{ K }[/math] или [math]\displaystyle{ K }[/math]-алгеброй.

Согласно определению, для всех [math]\displaystyle{ k,\;l\in K }[/math] и [math]\displaystyle{ a,\; b,\; c\in A }[/math] справедливы соотношения:

1. [math]\displaystyle{ a(b+c)=ab+ac }[/math]
2. [math]\displaystyle{ (a+b)c=ac+bc }[/math]
3. [math]\displaystyle{ (k+l)a=ka+la }[/math]
4. [math]\displaystyle{ k(a+b)=ka+kb }[/math]
5. [math]\displaystyle{ k(la)=(kl)a }[/math]
6. [math]\displaystyle{ k(ab)=(ka)b=a(kb) }[/math]
7. [math]\displaystyle{ 1a=a }[/math], где [math]\displaystyle{ 1 }[/math] — единица кольца [math]\displaystyle{ K }[/math]

Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b\in A }[/math] коммутатор определён равенством [math]\displaystyle{ [a,b]=ab-ba }[/math]. [math]\displaystyle{ K }[/math]-алгебра называется коммутативной, если [math]\displaystyle{ [a,b]=0 }[/math].

Для [math]\displaystyle{ a, b, c\in A }[/math] ассоциатор определён равенством [math]\displaystyle{ (a,b,c)=(ab)c-a(bc) }[/math]. [math]\displaystyle{ K }[/math]-алгебра называется ассоциативной, если [math]\displaystyle{ (a,b,c)=0 }[/math].

Если существует элемент [math]\displaystyle{ e \in A }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ ea = ae = a }[/math] для всех [math]\displaystyle{ a \in A }[/math], то [math]\displaystyle{ e }[/math] называется единицей алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math], а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия [math]\displaystyle{ k(ab)=(ka)b=a(kb) }[/math] требуют более слабое: [math]\displaystyle{ k(ab)=(ka)b }[/math].

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение [math]\displaystyle{ na }[/math] (где [math]\displaystyle{ n }[/math] — целое число) обычно, то есть как сумму [math]\displaystyle{ n }[/math] копий [math]\displaystyle{ a }[/math]. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения [math]\displaystyle{ f }[/math] выбрать полилинейное отображение [math]\displaystyle{ g:A^n\rightarrow A }[/math] и определить произведение согласно правилу: [math]\displaystyle{ a_1 \dots a_n=g(a_1, \dots ,a_n) }[/math], то полученная алгебраическая структура называется [math]\displaystyle{ n }[/math]-алгеброй.

Свободная алгебра

Запрос «Свободная алгебра» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Не следует путать с со свободной алгеброй в универсальной алгебре.

Если алгебра [math]\displaystyle{ A }[/math] над коммутативным кольцом [math]\displaystyle{ K }[/math] является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом [math]\displaystyle{ K }[/math]. Если алгебра [math]\displaystyle{ A }[/math] имеет конечный базис, то алгебра [math]\displaystyle{ A }[/math] называется конечномерной.

Если [math]\displaystyle{ K }[/math] является полем, то, по определению, [math]\displaystyle{ K }[/math]-алгебра является векторным пространством над [math]\displaystyle{ K }[/math], а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают [math]\displaystyle{ e_1, \dots, e_n }[/math]. Если алгебра имеет единицу [math]\displaystyle{ e }[/math], то обычно единицу включают в состав базиса и полагают [math]\displaystyle{ e_0=e }[/math]. Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения:

[math]\displaystyle{ e_ie_j=C^k_{ij}e_k }[/math].

А именно, если [math]\displaystyle{ a=a^ke_k }[/math], [math]\displaystyle{ b=b^ke_k }[/math], то произведение можно представить в виде:

[math]\displaystyle{ ab=C^k_{ij}a^ib^je_k }[/math].

Величины [math]\displaystyle{ C^k_{ij}\in K }[/math] называются структурными константами алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math].

Если алгебра коммутативна, то:

[math]\displaystyle{ C^k_{ij}=C^k_{ji} }[/math].

Если алгебра ассоциативна, то:

[math]\displaystyle{ C^k_{ij}C^j_{ml}=C^j_{im}C^k_{jl} }[/math].

Свойства

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] в качестве гомоморфного образа можно получить любую ассоциативно-коммутативную алгебру над [math]\displaystyle{ K }[/math].

Отображение алгебры

Возможно рассматривать алгебру [math]\displaystyle{ A }[/math] над коммутативным кольцом [math]\displaystyle{ K }[/math] как модуль [math]\displaystyle{ A }[/math] над коммутативным кольцом [math]\displaystyle{ K }[/math]. Отображение [math]\displaystyle{ f:A\rightarrow B }[/math] алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math] над коммутативным кольцом [math]\displaystyle{ K }[/math] в алгебру [math]\displaystyle{ B }[/math] над кольцом [math]\displaystyle{ K }[/math] называется линейным, если:

[math]\displaystyle{ f(a+b)=f(a)+f(b) }[/math],

[math]\displaystyle{ f(ka)=kf(a) }[/math].

для любых [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b\in A }[/math], [math]\displaystyle{ k\in K }[/math]. Множество линейных отображений алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math] в алгебру [math]\displaystyle{ B }[/math] обозначается символом [math]\displaystyle{ \mathcal L(A;B) }[/math].

Линейное отображение [math]\displaystyle{ f:A\rightarrow B }[/math] алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math] в алгебру [math]\displaystyle{ B }[/math] называется гомоморфизмом, если [math]\displaystyle{ f(ab)=f(a)f(b) }[/math] для любых [math]\displaystyle{ a, b\in A }[/math], а также выполнено условие: если алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] имеют единицу, то:

[math]\displaystyle{ f(e_A)=e_B }[/math].

Множество гомоморфизмов алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math] в алгебру [math]\displaystyle{ B }[/math] обозначается символом [math]\displaystyle{ H(A;B) }[/math].

Очевидно, что [math]\displaystyle{ H(A;B)\subseteq\mathcal L(A;B) }[/math].

Примеры

Общие:

• алгебры квадратных матриц
• алгебры многочленов
• алгебра формальных степенных рядов

Алгебры над полем вещественных чисел:

• комплексные числа
• двойные числа
• дуальные числа
• кватернионы

Литература

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.